迭代函数
在数学中，迭代函数[1]是在碎形和动力系统中深入研究的对象。迭代函数是重复的与自身复合的函数，这个过程叫做迭代。
目录
1 定义
2 例
3 从迭代建立序列
4 不动点
5 极限行为
6 例子
7 参见
8 引用
定义
在集合
X
{\displaystyle X}
上的迭代函数的形式定义为:
设
X
{\displaystyle X}
是集合和
f
:
X
→
X
{\displaystyle f:X\rightarrow X}
是函数。定义
f
{\displaystyle f}
的
n
{\displaystyle n}
次迭代
f
n
{\displaystyle f^{n}}
为
f
0
=
id
X
{\displaystyle f^{0}=\operatorname {id} _{X}}
而
f
n
+
1
=
f
∘
f
n
{\displaystyle f^{n+1}=f\circ f^{n}}
，这里的
id
X
{\displaystyle \operatorname {id} _{X}}
是在
X
{\displaystyle X}
上的恒等函数。
在上述中，
f
∘
g
{\displaystyle f\circ g}
指示函数复合；就是说
(
f
∘
g
)
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))}
。
换句话说，迭代函数也可以表示为以下的形式：
f
n
(
x
)
=
f
(
f
(
f
(
.
.
.
f
(
f
⏟
n
(
x
)
)
.
.
.
)
)
)
{\displaystyle f^{n}(x)={\underbrace {f(f(f(...f(f} _{n}}(x))...)))}
f
0
(
x
)
{\displaystyle f^{0}(x)}
定义为
x
{\displaystyle x}
。
f
−
n
(
x
)
{\displaystyle f^{-n}(x)}
定义为
f
n
(
x
)
{\displaystyle f^{n}(x)}
的反函数。（如果
f
n
(
x
)
{\displaystyle f^{n}(x)}
的反函数不存在，则
f
−
n
(
x
)
{\displaystyle f^{-n}(x)}
也不存在）
因此，
f
1
(
x
)
{\displaystyle f^{1}(x)}
就是
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
，
f
2
(
x
)
{\displaystyle f^{2}(x)}
是
f
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle f(f(x))}
，
f
0
(
x
)
{\displaystyle f^{0}(x)}
是恒等函数
x
{\displaystyle x}
，
f
−
1
(
x
)
{\displaystyle f^{-1}(x)}
是
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
的反函数（如果存在的话），而
f
1
2
(
x
)
{\displaystyle f^{\frac {1}{2}}(x)}
就是能够使得合成函数
g
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle g(g(x))}
正好是
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
的函数
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
。
注意，一般情况下，
f
n
(
x
)
{\displaystyle f^{n}(x)}
并不等于
(
f
(
x
)
)
n
{\displaystyle (f(x))^{n}}
或
f
(
x
n
)
{\displaystyle f(x^{n})}
，而例如
sin
−
1
(
x
)
{\displaystyle \sin ^{-1}(x)}
是
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(x)}
的反函数，亦即
arcsin
(
x
)
{\displaystyle \arcsin(x)}
，而不是
1
sin
(
x
)
=
csc
(
x
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sin(x)}}=\csc(x)}
。
例
一些特殊函数的幂次为（其中
a
{\displaystyle a}
、
b
{\displaystyle b}
、
n
{\displaystyle n}
可为任意复数，亦即
a
,
b
,
n
∈
C
{\displaystyle a,b,n\in \mathbb {C} }
）：
f
(
x
)
=
a
{\displaystyle f(x)=a}
，
f
n
(
x
)
=
a
if
n
∈
R
∧
n
>
0
,
f
n
(
x
)
=
x
if
n
=
0
{\displaystyle f^{n}(x)=a{\text{ if }}n\in \mathbb {R} \land n>0,f^{n}(x)=x{\text{ if }}n=0}
（在
n
{\displaystyle n}
是负实数或虚数的时候并没有定义，就好比
0
n
{\displaystyle 0^{n}}
在
n
{\displaystyle n}
是负实数或虚数的时候也没有定义）
f
(
x
)
=
x
+
a
{\displaystyle f(x)=x+a}
，
f
n
(
x
)
=
x
+
n
a
{\displaystyle f^{n}(x)=x+na}
f
(
x
)
=
a
x
{\displaystyle f(x)=ax}
，
f
n
(
x
)
=
a
n
x
{\displaystyle f^{n}(x)=a^{n}x}
f
(
x
)
=
x
a
{\displaystyle f(x)=x^{a}}
，
f
n
(
x
)
=
x
a
n
{\displaystyle f^{n}(x)=x^{a^{n}}}
（注意迭代幂次要由右往左算）
f
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle f(x)=ax+b}
，
f
n
(
x
)
=
a
n
x
+
a
n
−
1
a
−
1
b
{\displaystyle f^{n}(x)=a^{n}x+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b}
（
a
≠
1
{\displaystyle a\neq 1}
）
f
(
x
)
=
b
x
a
{\displaystyle f(x)=bx^{a}}
，
f
n
(
x
)
=
b
a
n
−
1
a
−
1
x
a
n
{\displaystyle f^{n}(x)=b^{\frac {a^{n}-1}{a-1}}x^{a^{n}}}
（
a
≠
1
{\displaystyle a\neq 1}
）
（注意任何非零复数的任何复数次方都有定义：
a
n
=
e
n
ln
a
=
e
Re
(
n
ln
a
)
(
cos
(
Im
(
n
ln
a
)
+
i
sin
(
Im
(
n
ln
a
)
)
{\displaystyle a^{n}=e^{n\ln a}=e^{{\text{Re}}(n\ln a)}(\cos({\text{Im}}(n\ln a)+i\sin({\text{Im}}(n\ln a))}
，当
a
{\displaystyle a}
为负实数或虚数时，
ln
(
a
)
=
ln
(
|
a
|
)
+
i
arg
(
a
)
{\displaystyle \ln(a)=\ln(|a|)+i{\text{arg}}(a)}
，其中
|
a
|
{\displaystyle |a|}
为复数
a
{\displaystyle a}
的绝对值，
arg
(
a
)
{\displaystyle {\text{arg}}(a)}
为复数
a
{\displaystyle a}
的主幅角，
Re
(
a
)
{\displaystyle {\text{Re}}(a)}
为复数
a
{\displaystyle a}
的实部，
Im
(
a
)
{\displaystyle {\text{Im}}(a)}
为复数
a
{\displaystyle a}
的虚部）
函数幂亦有类似指数律的定理，其中
m
{\displaystyle m}
、
n
{\displaystyle n}
可为任意复数，亦即
m
,
n
∈
C
{\displaystyle m,n\in \mathbb {C} }
：
f
m
(
f
n
(
x
)
)
=
f
m
+
n
(
x
)
{\displaystyle f^{m}(f^{n}(x))=f^{m+n}(x)}
(
f
m
)
n
(
x
)
=
f
m
n
(
x
)
{\displaystyle (f^{m})^{n}(x)=f^{mn}(x)}
注意函数的合成是不可交换的（
g
f
(
x
)
{\displaystyle gf(x)}
并不一定等于
f
g
(
x
)
{\displaystyle fg(x)}
）但因为可结合（
h
(
g
f
)
(
x
)
{\displaystyle h(gf)(x)}
一定等于
(
h
g
)
f
(
x
)
{\displaystyle (hg)f(x)}
），所以会符合幂结合性，因此这两条“函数幂的指数律”并没有任何问题。
这跟例如指数拓展到次方为负整数、分数、无理数、复数，以及阶乘运算跟排列组合运算
P
n
m
{\displaystyle P_{n}^{m}}
、
C
n
m
{\displaystyle C_{n}^{m}}
拓展到非整数和负数时（使用伽玛函数）一样，二项式定理也可以用这种方式拓展到负整数、分数、无理数、复数，只是会变成无穷级数而不再是有限级数而已，包括矩阵的
n
{\displaystyle n}
次方以及微分
n
{\displaystyle n}
次（
n
{\displaystyle n}
为负整数时等同于积分
−
n
{\displaystyle -n}
次），也都可以用这种方式，把
n
{\displaystyle n}
拓展到任意复数，或例如已知“首项”、“公差/公比”、“项数”的等差数列或等比数列要求出全部项的和或乘积的公式，也都可以用这种方式，拓展到项数为负整数、分数、无理数、复数的情况（包括一般的
∑
x
=
m
n
f
(
x
)
{\displaystyle \sum _{x=m}^{n}f(x)}
与
∏
x
=
m
n
f
(
x
)
{\displaystyle \prod _{x=m}^{n}f(x)}
中，
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
为常见的函数如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数的时候，
m
{\displaystyle m}
跟
n
{\displaystyle n}
也能拓展到任意复数，就跟积分式
∫
m
n
f
(
x
)
{\displaystyle \int _{m}^{n}f(x)}
一样），至于超运算
a
[
n
]
b
{\displaystyle a[n]b}
能不能拓展到分数、无理数或复数，则是数学中未解决的问题之一。
从迭代建立序列
函数
f
n
{\displaystyle f^{n}}
的序列叫做 Picard 序列，得名于埃米尔·皮卡。对于一个给定
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
，
f
n
(
x
)
{\displaystyle f^{n}(x)}
的值的序列叫做
x
{\displaystyle x}
的轨道。
如果对于某个整数
m
{\displaystyle m}
有
f
n
(
x
)
=
f
n
+
m
(
x
)
{\displaystyle f^{n}(x)=f^{n+m}(x)}
，则轨道叫做周期轨道。对于给定
x
{\displaystyle x}
最小的这种
m
{\displaystyle m}
值叫做轨道的周期。点
x
{\displaystyle x}
自身叫周期点。
不动点
如果m=1，就是说如果对于某个X中的x有f(x) = x，则x被称为迭代序列的不动点。不动点的集合经常指示为Fix（f）。存在一些不动点定理保证在各种情况下不动点的存在性，包括巴拿赫不动点定理和Brouwer不动点定理。
有很多技术通过不动点迭代（英语：Fixed-point iteration）产生了序列收敛加速。例如，应用于一个迭代不动点的Aitken方法叫做Steffensen方法，生成二次收敛。
不动点理论同样也适用于经济学领域。
极限行为
通过迭代，可以发现有向一个单一点收缩和会聚的一个集合。在这种情况下，会聚到的这个点叫做吸引不动点。反过来说，迭代也可以表现得从一个单一点发散；这种情况叫不稳定不动点。
当轨道的点会聚于一个或多个极限的时候，轨道的会聚点的集合叫做极限集合或 ω-极限集合。
吸引和排斥的想法类似推广；依据在迭代下小邻域行为，可把迭代分类为稳定集合和不稳定集合。
其他极限行为也有可能；比如，游荡点是总是移动永不回到甚至接近起点的点。
例子
著名的迭代函数包括曼德博集合和迭代函数系统。
如果 f 是一个群元素在一个集合上的作用，则迭代函数对应于自由群。
参见
旋转数（英语：Rotation number）
Sarkovskii定理（英语：Sharkovskii's theorem）引用
^ 疊代iteration. 国家教育研究院辞书资讯网. [2021-11-07]. （原始内容存档于2021-11-08）. 名词解释：指重复的一序列指令或事件；如程式的循环。
Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7
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